Skalarproduktet

Regler

$$a \perp b \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

---

Skalarproduktet av to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ er gitt ved $\vec{a} \cdot \vec{b} = \left| \vec{a} \right| \cdot \left| \vec{b} \right| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b}) , \angle(\vec{a}, \vec{b}) \in [0^{\circ}, 180^{\circ}]$

Dersom $\vec{a} = [x_{1}, y_{1}, z_{1}]$ og $\vec{b} = [x_{2}, y_{2}, z_{2}]$ er $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} \cdot x_{2} + y_{1} \cdot y_{2} + z_{1} \cdot z_{2}$

Når verken $\vec{a}$ eller $\vec{b}$ er nullvektor, gjelder $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 90^{\circ} \iff \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b})) = 0 \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

---

Eksempel

I $\triangle ABC$ er punktene $A(-2, 1, 2)$ og $B(0, 2, 3)$ gitt. $\angle A = 90^{\circ}$ og punktet $C$ ligger på kurven $y = x^{2}$ i $xy$-planet. ($\color{gray}y = 0$)

a) Bestem koordinatene til $C$.

$$\begin{equation} \begin{split} \vec{AB} &= [2, 1, 1] \\ \vec{AC} &= [x+2, x^{2}-1, -2] \\ \vec{AB} \perp \vec{AC} &\iff \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \\ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 2(x+2)+1(x^{2}-1)+1(-2) &= 0 \\ 2x+4+x^{2}-1-2 &= 0 \\ x^{2}+2x+1 &= 0 \\ (x+1)^{2} &= 0 \\ x &= -1 \\ &\Downarrow \\ &\underline{\underline{C(-1, 1, 0)}} \end{split} \end{equation}$$